三角関数の加法定理の導出

三角関数の加法定理 \begin{eqnarray*} \sin(x+y) = \sin(x)\cos(y)+\cos(x)\sin(y) \\ \cos(x+y) = \cos(x)\cos(y)-\sin(x)\sin(y) \end{eqnarray*} は記憶しておくと便利であるが、導出するのもオイラーの公式を用いれば簡単である。 まず、オイラーの公式を用いて次のように変形する。 \[ \cos(x+y)+i\sin(x+y) = e^{i(x+y)}=e^{ix}e^{iy}\quad \quad (1) \] さらに、最右辺を再びオイラーの公式を用いて展開する。 \begin{align} e^{ix}e^{iy} &=(\cos(x)+i\sin(x))(\cos(y)+i\sin(y)) \\ &=\cos(x)\cos(y)-\sin(x)\sin(y)+i(\sin(x)\cos(y)+\cos(x)\sin(y) ) \end{align} よって \[ e^{ix}e^{iy} = \cos(x)\cos(y)-\sin(x)\sin(y)+i(\sin(x)\cos(y)+\cos(x)\sin(y) ) \qquad (2) \] 式(1)の左辺と式(2)の右辺を結ぶと \begin{align*} &\cos(x+y)+i\sin(x+y) \\ &=\cos(x)\cos(y)-\sin(x)\sin(y)+i(\sin(x)\cos(y)+\cos(x)\sin(y) ) \end{align*} が得られる。この等式の実部と虚部を比較すれば、$\sin(x)$ と $\cos(x)$ の加法公式が同時に得られる。