指数関数と微分演算子

指数関数に微分演算子を代入すると、適当な条件の下で

\[f(x+1) = \exp \left( \frac{d}{dx} \right) f(x) \]

となることを確認し、差分方程式の解法への応用を考える。（厳密な議論はしない。)

指数関数に微分演算子を代入する

指数関数のテイラー展開に微分演算子を代入して

\[\exp \left( \frac{d}{dx} \right ) =1 + \frac{d}{dx} + \frac{1}{2!} \left( \frac{d}{dx} \right) ^2 + \frac{1}{3!} \left( \frac{d}{dx} \right) ^3 +\cdots \]

について考える。これを関数に作用させると

\[\exp \left( \frac{d}{dx} \right ) f(x) = f(x) + f'(x) + \frac{f''(x)}{2!} + \cdots \] となるが、右辺は $f(x+1)$ と適当な条件下で等しくなる。つまり、

\[f(x+1) = f(x) + f'(x) + \frac{f''(x)}{2!} + \cdots \]

が適当な条件下で成立する。なぜならば

$f(w)$の$a$におけるテイラー展開を考えると \[f(w) = f(a) + f'(a)(w-a) + \frac{f''(a)}{2!}(w-a)^2 + \cdots\]

となるが、ここで、$a=x,\, w=x+1$を代入することで \[f(x+1) = f(x) + f'(x) + \frac{f''(x)}{2!} + \cdots \] が得られるからである。

例1 $ f(x) = x^2 $ の場合.

\[\exp \left( \frac{d}{dx} \right ) f(x) = \exp \left( \frac{d}{dx} \right ) x^2 =\left(1 + \frac{d}{dx} + \frac{1}{2!} \left( \frac{d}{dx} \right) ^2 +\cdots \right) x^2 = x^2 +2x +1 = (x+1)^2 \]

例2 $f(x) = e^x$ の場合.

\[\exp \left( \frac{d}{dx} \right ) f(x) = \exp \left( \frac{d}{dx} \right ) e^x =\left(1 + \frac{d}{dx} + \frac{1}{2!} \left( \frac{d}{dx} \right) ^2 +\cdots \right) e^x = (1+1+\frac{1}{2!}+\cdots ) e^x = e^{x+1} \]

差分方程式への応用

\[f(x+1)-f(x) = g(x)\] の形の差分方程式の解法について考える。

これを先ほど得た関係式を用いて書きかえると

\[ \left ( \exp \left( \frac{d}{dx} \right ) -1 \right) f(x) = g(x)\]

となる。これを$f(x)$について解くと

\[ f(x) = \frac{1}{ \exp \left( \frac{d}{dx} \right ) -1} g(x) \]

が得られ、形式的に差分方程式の解が得られる。右辺は

\[ \frac{1}{ \exp \left( \frac{d}{dx} \right ) -1} g(x)=\sum_{n=0}^\infty \frac{B_n}{n!} \left( \frac{d}{dx} \right)^{n-1} g(x)\]

と、$(e^x-1)^{-1}$のローラン展開を用いて計算する。ただし、

\[\left( \frac{d}{dx} \right) ^{-1} \] は積分と解釈する。

例. べき乗和の公式 ($g(x)=(x+1)^2$のケース.)

$f(x) = 1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + x^2 $ とおくと

$f(x+1) - f(x) = (x+1)^2$ となる。したがって

\begin{align} f(x) &= \frac{1}{ \exp \left( \frac{d}{dx} \right ) -1} (x+1)^2 \\ &= \left( \left( \frac{d}{dx} \right)^{-1} + B_1 + \frac{B_2}{2}\frac{d}{dx} + \frac{B_3}{3!}\frac{d^2}{dx^2}+\cdots \right) (x+1)^2 \\ &= \left( \left( \frac{d}{dx} \right)^{-1} -\frac{1}{2} + \frac{1}{12}\frac{d}{dx} + \cdots \right) (x+1)^2 \\ &= \int (x+1)^2 dx -\frac{1}{2}(x+1)^2 + \frac{1}{12}\frac{d}{dx}(x+1)^2 \\ &= \frac{(x+1)^3}{3} -\frac{(x+1)^2}{2} + \frac{(x+1)}{6}+C \\ &= \frac{x\left( x+1\right) \left( 2 x+1\right) }{6} +C\end{align}

が得られるが $f(0)=0$ とすれば $C=0$ となるので、結局 \[f(x) = \frac{x\left( x+1\right) \left( 2 x+1\right) }{6} \] が導出できる。これはべき乗和の公式に他ならない。