関数方程式の解法例

前回の記事で、

\[f(x+1)-f(x) = g(x)\] 型の関数方程式を$f(x)$について「形式的」に解く方法について調べた。

キーとなったのは、次の関係式である。

\[f(x+1) = \exp \left( \frac{d}{dx} \right) f(x) \]

今回は、同種の関数方程式の解を同種の方法で見つけることを目標とする。

例1.

\[f(x+1) + f(x) = x^3\] の多項式解を見つける。

\[f(x) = \frac{1}{ \exp \left( \frac{d}{dx} \right ) + 1} x^3 \]

となるが、右辺の計算には

\[\frac{1}{ e^x + 1} = \frac{1}{2}-\frac{x}{4}+\frac{x^3}{48}-\frac{x^5}{480}+\cdots \]

を用いる。

\begin{align} f(x) &= \frac{1}{ \exp \left( \frac{d}{dx} \right ) + 1} x^3 \\ &= \left( \frac{1}{2}-\frac{1}{4}\frac{d}{dx}+\frac{1}{48}\left(\frac{d}{dx} \right)^3 +\cdots \right) x^3 \\ &= \frac{x^3}{2}-\frac{3}{4}x^2+\frac{1}{8}. \end{align}

したがって、関数方程式の解として \[ f(x) = \frac{x^3}{2}-\frac{3}{4}x^2+\frac{1}{8}\] を得ることができた。

例2.

\[f(x+2) + f(x+1)+f(x) = x^3\] の多項式解を見つける。

$f(x)$について解くと \[f(x) = \frac{1}{ \exp \left( 2\frac{d}{dx} \right ) + \exp \left( \frac{d}{dx} \right )+1} x^3 \] となる。 右辺の計算には \[\frac{1}{ e^{2x}+e^x + 1} = \frac{1}{3}-\frac{x}{3}+\frac{x^2}{18}+\frac{x^3}{18}-\frac{x^4}{72}+\cdots \] を用いる。

\begin{align} f(x) &= \frac{1}{ \exp \left( 2\frac{d}{dx} \right ) + \exp \left( \frac{d}{dx} \right )+1} x^3 \\ &= \left( \frac{1}{3}-\frac{1}{3} \frac{d}{dx}+\frac{1}{18}\left(\frac{d}{dx} \right)^2+\frac{1}{18}\left(\frac{d}{dx} \right)^3+\cdots \right) x^3 \\ &=\frac{x^3}{3}-x^2+\frac{x}{3}+\frac{1}{3} . \end{align}

したがって、関数方程式の解として \[ f(x) = \frac{x^3}{3}-x^2+\frac{x}{3}+\frac{1}{3} \] を得ることができた。