複素平面の基礎

複素数全体の集合を $\mathbb{C}$ と表す。 $ \mathbb{C}=\{a+bi|a,b\in\mathbb{R} \} (i=\sqrt{-1})$

複素数の実部と虚部

$z=a+bi$ ($a,b$ は実数)のとき、$a=\Re (z) , b=\rm{Im}(z) $ とかき、それぞれ $z$ の実部(リアルパート)、 $z$ の虚部(イマジナリーパート)という。

二つの複素数が等しいことの定義

「二つの複素数が等しい」⇔「実部と虚部がそれぞれ等しい」と定める。

複素共役

$ z=a+bi$ ($a,b$ は実数) $\quad $ (1)

の共役(きょうやく)を

$\bar{z} =a-bi$ $\quad$ (2)

と定義する。(1)式+(2)式と、(1)式-(2)式を考えることで、次が得られる。

\[ a = \Re\left(z\right)=\frac{z\ +\bar{z}}{2}, \quad b = \Im\left(z\right)=\frac{z-\bar{z}}{2i}\]

四則の定義

和と差: 実部と虚部、独立に行われる(以下 $a,b,c,d,k$ は実数.) \[ \left(a+bi\right)+\left(c+di\right)=\left(a+c\right)+\left(b+d\right)i\] \[ \left(a+bi\right)-\left(c+di\right)=\left(a-c\right)+\left(b-d\right)i\] 実数倍(スカラー倍) \[ k(a+bi)=\ ka+kbi\] 積 \[ (a+bi)(c+di)=ac-bd+(ad+bc)i\] 注:実際にこの定義を使用することはあまりない。左辺を普通に展開して、$i^2$ があらわれたら $-1$ にすればいい。 例 \[ (a+bi)(2+i)=2a+ai+2bi+bi^2=2a+(a+2b)i-b=2a-b+(a+2b)i \] 割り算(逆元) $z\ =\ a+bi$ の逆元を求めたい。 $z \bar{z} = a^2+b^2\in\mathbb{R} $ に注目し、この両辺を右辺($0$ でないとする)でわれば \[ z\times\frac{\bar{z}}{a^2+b^2}=1\] が得られる. この関係式から、$z$ の逆元は \[ z^{-1}=\frac{1}{z}\ =\frac{\bar{\ z\ }}{a^2+b^2}=\frac{a}{a^2+b^2}-\frac{b}{a^2+b^2}i \] と求めることができる。

分かったこと. $\mathbb{C}$ では四則演算が自由にできる($\mathbb{C}$ は複素数体と呼ばれる。)

複素数の絶対値

$z=a+bi$ に対して、 \[ \left|z\right|=\sqrt{a^2+b^{2\ }} \quad (=\sqrt{z\bar{z}})\] と定める。

オイラーの公式

\[ e^{i\theta}\ =\cos{\theta}\ +\ i\sin{\theta} \quad (\theta\in\mathbb{R}) \] ここでは左辺を「右辺の略記法」とする。今は $ \theta\in\mathbb{R}$ とするが、後に $\theta\in\mathbb{C}$ に拡張する。 三角関数の加法公式を用いれば、簡単な計算によって、実数 $ x,y$ に対して \[ e^{ix}e^{\pm i y}\ =e^{i\left(x\pm y\right)} \] が成り立つこと、つまり指数法則が成立するから、この記法の妥当性を確認できる。

複素平面

複素数 $z = a+bi$ を平面上の点 $\left(a,b\right)$ に対応させて表示する。 横を実軸、縦を虚軸とよぶ。$|z|$ は、原点 $0$ から点 $z$ までの線分の長さに等しい。

O θ a + bi

極形式

複素数$ z=a+bi$ は、$r=|z|$ とし、$\theta$ を実軸と線分 $\vec{0z}$ の間の角とすれば、 \[ z = r(\cos{\theta}+i\sin{\theta})\] と書くことができ、これを極形式とよぶ。また、$ \theta $ を偏角とよび $\theta=\arg(z)$ と記す。

注:偏角は一意に定まらない。$\theta$ が $ z $ の偏角ならば、$ \theta+2\pi n $ も $z$ の偏角になる。

極形式は、オイラーの公式を用いれば \[ z=\ r e^{i\theta} \quad \text{(共役は $\bar{z} = re^{-i\theta}$)}\] のように簡潔に書ける。