複素平面2

今回は複素平面上の「直線」と「円」の方程式について調べる。

2点間の距離

複素平面上の2点 $ z=a+bi$ と $w=c+di$ の間の距離を \[ \left|w-z\right|=\sqrt{\left(c-a\right)^2+\left(d-b\right)^2} \] によって定める。これは複素平面上の2点をつないだ直線の長さをあらわす。

複素数のあいだの等式

「二つの複素数が等しい」⇔「実部と虚部がそれぞれ等しい」と定める。

三角不等式

\[\left|\left|z\right|-\left|w\right|\right|\le\left|z+w\right|\le\left|z\right|+|w|\]

証明. 右側の不等式 $ \left|z+w\right|\le\left|z\right|+|w|$ を示す。両辺負でないから、2乗したもの示せば良い。つまり \[ \left(\left|z\right|+\left|w\right|\right)^2-\left|z+w\right|^2\geq 0\] を示す。左辺から出発すれば、 \begin{eqnarray*} \left(\left|z\right|+\left|w\right|\right)^2-\left|z+w\right|^2 &=& \left(\left|z\right|+\left|w\right|\right)^2-\left(z+w\right) \overline{ (z+w ) }\\ &=& \left(\left|z\right|+\left|w\right|\right)^2-\left(z+w\right)(\bar{z}+\bar{w}) \\ &=& \left|z\right|^2+2\left|z\right|\left|w\right|+\left|w\right|^2-\left(z\bar{z}+z\bar{w}+\bar{z}w+w\bar{w}\right)\\ &=& \left|z\right|^2+2\left|z\right|\left|w\right|+\left|w\right|^2-\left(\left|z\right|^2+z\bar{w}+\bar{z}w+\left|w\right|^2\right) \\ &=& 2\left|z||\bar{w}\right|-z\bar{w}-\bar{z\bar{w}}=2\left|z\bar{w}\right|-2\Re\left(z\bar{w}\right)\geq 0. \end{eqnarray*} 上の式3行目において、複素数 $\alpha=z\bar{w}$ に対して、 \[ \frac{\alpha+\bar{\alpha}}{2}=\Re\left(\alpha\right),\quad \Re\left(\alpha\right)\le\left|\alpha\right| \] が成り立つことを用いた。 \[ \left|\left|z\right|-\left|w\right|\right|\le\left|z+w\right|\] を示すには、同様にして、 $-|\alpha|\leq \Re\left(\alpha\right)$ に注意すればいい。

直線の方程式

実軸の方程式:実軸上にある点$z$ は $\Im(z)=0$ を満たすから \[ \frac{z-\bar{z}}{2i}=0\ \Longleftrightarrow z-\bar{z}=0\] となる。あるいは、実軸は、点 $ i$ と $-i$ から等距離にある点の集合だから、 \[ \left|z-i\right|=|z+i| \] によって表現することもできる。もちろん、$ \left|z-2i\right|=|z+2i|$ でもいい。

2点$ \alpha,\beta $ を結ぶ線分の垂直二等分線は、 \[ \left|z-\alpha\right|=\left|z-\beta\right| \] を満たす集合 $z$ によって表現される。

一般の直線の方程式

実数 $ c $ に対して \[ \bar{\alpha}z+\alpha\bar{z}+c=0\] は直線の方程式となる。

実数 $ p,q$ に対して \[ \alpha=\frac{p+qi}{2}\] とおき、 \[ \bar{\alpha}z+\alpha\bar{z}+c=0\] の左辺を $2\Re(\bar{\alpha}z)+c$ と変形して、これに $\alpha$ 代入して計算すれば、 \[ 2\Re\left(\bar{\alpha}z\right)+c=\Re\left(\left(p-qi\right)(x+iy)\right)+c=px+qy+c\] となり、確かに直線の方程式が得られる。

円の方程式

原点を中心とした半径 $r\in\mathbb{R}_{>0}$ の円: この円上にある点 $z$ は原点からの距離が $r$ だから、 \[ \left|z\right|=r \] を満たす。両辺を2乗して、$z=x+iy$ とすれば、 \[ x^2+y^2=r^2 \] となることは容易に確認できる。また極形式で \[ z={re}^{i\theta}(0\le\theta < 2\pi) \] と表すこともできる。 点 $\alpha\in\mathbb{C}$ を中心とした半径 $r \in\mathbb{R}_{>0}$ の円 $\left|z-\alpha\right|=r$ 両辺を2乗して、展開すると \begin{align} \left|z-\alpha\right|^2 = r^2 & \Longleftrightarrow \left(z-\alpha\right)\left(\overline{z-\alpha}\right) = r^2 \\ & \Longleftrightarrow z\bar{z}-\bar{\alpha} z-\alpha\bar{z}+\alpha\bar{\alpha} = r^2 \\ & \Longleftrightarrow {\left|z\right|}^2-\bar{\alpha}z-\alpha\bar{z}+\left|\alpha\right|^2-r^2 =0 . \end{align} この変形を逆にたどるため、次を公式としておく。

円の方程式. \[ \left|z-\alpha\right|=r\ \Leftrightarrow\left|z\right|^2-\alpha\bar{z}-\bar{\alpha}z+\left|\alpha\right|^2-r^2=0.\ (r\in\mathbb{R}_{>0})\] 平方完成の公式. \[ \left|z\right|^2-\bar{\alpha}z-\alpha\bar{z}=\left|z-\alpha\right|^2-\left|\alpha\right|^2. \] \[ \left|z\right|^2+\bar{\alpha}z+\alpha\bar{z}=\left|z+\alpha\right|^2-\left|\alpha\right|^2.\]