合同式から$\mathbb{Z}_{10}$の世界へ

次の問題について考えよう。
問題. \[\evm{3x}{1}{10^{10}}\] の解を求めよ。
大変そうなので、$\md{10}$から考えていきたい。
問題1. \[\evm{3x}{1}{10}\] 解. \[\evm{x}{7}{10}\] 問題2. \[\evm{3x}{1}{10^2}\] 解. \[\evm{x}{67}{10^2}\] 問題3. \[\evm{3x}{1}{10^3}\] 解. \[\evm{x}{667}{10^3}\] 問題4. \[\evm{3x}{1}{10^4}\] 解. \[\evm{x}{6667}{10^4}\] ここまで計算すると規則性が見えるが、検算してみると、よりはっきりする。

$6$ $6$ $6$ $7$
$\times$ $3$
$2$ $0$ $0$ $0$ $1$

よって、最初の問題の答えは$7$の左に$6$を$9$個ならべたもの。つまり、 \[ \evm{x}{6666666667}{10^{10}} \] となる。 ここで注目すべきは、この解は \[ \evm{3x}{1}{10^k} \quad (k=1,2,\cdots,10) \] のすべてを満たすということである。 つまり、厳密な表現ではないが$\md{10^\infty}$のような世界があれば、そこでの解が一番精密な解であるといえる。

以下、 この一番精密な世界を$\mathbb{Z}_{10}$と記すことにし、この世界ではどのようなことが起きるかを実験的に見ていこう。 上の議論によって、 \[ 3x = 1 \qquad (\zten) \] の解は \[ x = \cdots 6667 \quad (\zten) \] と表現しても良いだろう。 つまり、この世界では \[ \frac{1}{3} = \cdots 6667 \quad (\zten) \] が成立する。つぎにこの世界の$-1$について調べよう。まずは$\md{10}$から順番に考えていく。すると \[ \evm{-1}{9}{10},\quad \evm{-1}{99}{10^2},\quad \evm{-1}{999}{10^3}, \cdots \] と表現できることに気づく。 したがって、この極限的世界である$\zten$では \[ \cdots999999 = -1 \quad (\zten) \] と記しても良いだろう。実際、 \[ \cdots99999999 + 1 = \cdots0000000 = 0 \] と自然な同一視によって、整合性は崩れていない。