差分

差分の記号$\Delta$を次で定義する。

\[ \Delta f(x) := f(x+1) - f(x). \]

例1.

\[\Delta x^2 = (x+1)^2 - x^2 = 2x+1\]

例2.

\[\Delta \frac{1}{x} = - \frac{1}{x(x+1)} \]

差分によって形が変わらない関数

$x^n$は微分によって形を保ち、$n$階導関数を求めることさえ容易である。 したがって、微分の世界では$x^n$という関数は扱いやすく重宝される。 一方、差分の世界では$x^n$は、差分を取るごとに形が崩れてしまう。 結論から言えば、差分の世界では\[x(x-1)(x-2)\cdots(x-n+1)\]という$n$次多項式が基本となる関数になる。

定理

次が各$n \in \mathbb{Z}_{>=0} $について成立する。 \[\Delta \left ( x(x-1)\cdots (x-n+1) \right) = n x (x-1)\cdots ( x - n+ 2) \] これは \[ p(x,n):= x(x-1)\cdots (x-n+1) \] とおくと \[\Delta p(x,n) = n p(x,n-1) \] となるが、このように書くと形を保っていることが見やすい。 また、$p(x,n)$は二項係数の分子だから \[ \Delta \binom{x}{n} = \binom{x}{n-1}\] が成立すると解釈することもできる。

証明.

直接的に差分の定義に従って証明できる。

差分の基本性質

1. $n$次多項式を差分すると次数が一つ下がり、$n-1$次の多項式になる。特に定数は$0$になる。
2. 線形性を持つ。つまり, 定数$a,b$に対して次が成立。 \[\Delta ( a f(x)+b g(x)) = a\Delta ( f(x)) + b\Delta ( g(x))\]

証明は定義から容易。

積の差分法

定理

\[\Delta \left( f(x) g(x) \right) = f(x+1) \Delta(g(x)) + \Delta(f(x)) g(x) \]

証明.

多項式の展開

定理

多項式$f(x)$を \[f(x) = \sum_{k=0}^n c_k \binom{x}{k}\] と展開するとき、係数$c_k$は \[ c_k = \left. \Delta^k (f(x)) \right|_{x=0} \] によって決まる。

証明.

\[f(x) = \sum_{k=0}^n c_k \binom{x}{k} \tag{1} \label{fsck}\] において$x=0$とおくと \[c_0 = f(0).\] \eqref{fsck}の両辺で差分を取ると \[\Delta f(x) =\sum_{k=1}^n c_k \binom{x}{k-1} \] となるが、ここで$x=0$とすれば \[c_1 = \left. \Delta (f(x)) \right|_{x=0} \] が得られる。同じ操作をくりかえせば定理の主張が得られる。

例

\[ x^2 = c_0 + c_1 \binom{x}{1}+ c_2 \binom{x}{2} \] と展開すると、 \[ c_0 = 0. \] \[ c_1 =\left. (2x+1) \right|_{x=0} = 1. \] \[ c_1 =2 \] だから、 \[x^2 = \binom{x}{1} +2 \binom{x}{2} \] と展開できる。実際 \[\binom{x}{1} +2 \binom{x}{2} = x+ x(x-1) = x^2 \] が確かめられる。

$n$階の差分

1回差分は \[\Delta f(x) = f(x+1)- f(x).\] 2階差分は \[\Delta^2 f(x) = f(x+2)- 2f(x+1)+f(x).\] 3階差分は \[\Delta^3 f(x) = f(x+3)- 3f(x+2)+3f(x+1)-f(x)\] となる。このようにして何回か計算すると、二項係数が出てくることに気づく。

定理

\[\Delta^n f(x) = \sum_{k=0}^n (-1)^k \binom{n}{k} f(x+n-k)\]