差分と微分の関係

差分は有限の差であり、微分は極限的差だから、「差」を考えるという点においては両者は同じである。 実際、似た性質を持つことを 「差分」で確認した。 実は、「ある種の関数については」、差分は微分で、微分は差分で表現することができる。

差分を微分で表現する関係式

ある種の関数について

\[f(x+1) = \exp \left( \frac{d}{dx} \right) f(x) \] が成り立つことを見たが、両辺から$f(x)$を引くと \[ \Delta f(x) = \left( \exp \left( \frac{d}{dx} \right)-1 \right) f(x) \tag{1} \label{dflel} \] と変形できる。これは、差分が微分によって計算できる可能性を示唆したものと解釈できる。

例1.

$D = \dfrac{d}{dx}$ とおく。 \begin{align} ( \exp (D) -1 ) x^2 &= \left ( D+ \frac{D^2}{2!} + \cdots \right) x^2 \\ &= 2x + 1 \\ &= (x+1)^2 - x^2 \\ &= \Delta (x^2) \end{align}

例2.

$D = \dfrac{d}{dx}$ とおく。 \begin{align} ( \exp (D) -1 ) e^x &= \left ( D+ \frac{D^2}{2!} + \cdots \right) e^x \\ &= \left ( 1+ \frac{1}{2!} + \cdots \right) e^x \\ &= (e-1)e^x\\ &= e^{x+1} - e^x \\ &= \Delta (e^x) \end{align}

微分を差分で表現する関係式

\eqref{dflel} で$f(x)$を消去すると \[ \Delta = \exp \left( \frac{d}{dx} \right)-1 \] が得られるが、これは「演算子間」の等式として解釈できる。 そしてこれは、差分が微分で表現できる可能性を示唆しているわけであるが、 逆に微分演算子について解くと、 微分を差分で表現する関係式 \[ \frac{d}{dx} = \log(1+\Delta) \] が得られる。

例1.

\begin{align} \log(1+\Delta) x^2 &= \left ( \Delta- \frac{\Delta^2}{2!} + \cdots \right) x^2 \\ &= 2x + 1 - 1\\ &= 2x \\ &= \frac{d}{dx} x^2 \end{align}

例2.

\begin{align} \log(1+\Delta) 2^x &= \left ( \Delta- \frac{\Delta^2}{2!} + \cdots \right) 2^x \\ &= \left ( 1- \frac{1}{2!} + \cdots \right) 2^x \\ &= (\log(2)) 2^x \\ &= \frac{d}{dx} 2^x. \end{align}

例3.

\[ \frac{d}{dx} f(x)= \log(1+\Delta) f(x) \] で \[f(x) = \frac{1}{x}\] とすると、 \[\frac{1}{x} = \sum_{n=1}^\infty \frac{(n-1)!}{(x+1)(x+2) \cdots(x+n)} \quad (x>0) \] が得られる。 詳細は 「微分せずに微分する方法」 にある。

注意点

上では、二つの関係式 \[ \Delta = \exp \left( \frac{d}{dx} \right)-1, \quad \frac{d}{dx} = \log(1+\Delta) \] が成立する例をみたが、これらの関係式はいつでも成立するわけではない。例えば \[ \frac{d}{dx} e^x= \log(1+\Delta)e^x \] の左辺は$e^x$であるが、右辺は発散してしまう。