突然ですが、問題です。 \[ \sup_{n\in \mathbb{N}} \left( \sum_{k=1}^n \sin (k) \right) \] を求めよ。(解答はこちら.
上限の記号$\sup$を用いずに書くとこの問題は、任意の自然数$n$に対して \[ \sum_{k=1}^n \sin (k) \leq C \] を満たす最小の定数$C$を求めよということと同じ意味。

三角関数の和

指数関数の和は、等比級数の和の公式によって \[ \sum_{k=0}^n e^{kx} = \frac{1-e^{(n+1)x}}{1-e^x} \] と求めることができる。では三角関数の和 \[ \sum_{k=0}^n \sin(kx) \] は同じように求めることができるだろうか。オイラーの公式を用いればそれが可能であることがわかる。 なぜならば、 \[ \sum_{k=0}^n \sin(kx)= \sum_{k=0}^n \frac { e^{ikx}-e^{-ikx} } {2i} =\frac{1}{2i}\sum_{k=0}^n e^{ikx} - \frac{1}{2i}\sum_{k=0}^n e^{-ikx} \] と変形できるからである。 ただし、このように変形すると少し計算が面倒である。 次のように、最初から指数関数の和の形から始めるのが良い。 \[ \sum_{k=0}^n e^{ikx} = \sum_{k=0}^n (\cos(kx)+i\sin(kx)) \] 左辺では等比級数の和の公式が使用できるから、実部と虚部を分離すれば求めたいものが得られる。以下計算は大変であるが、左辺を変形していく。 まず、等比級数の和の公式から次が得られる。 \[ \sum_{k=0}^n e^{ikx} = \frac{e^{(n+1)ix}-1}{e^{ix}-1} \quad \quad (1) \] この右辺を実部と虚部に分けた式を得ることができれば、虚部が求めたいものになる。はじめに右辺の分母を次のように変形する。 \[ e^{ix}-1 = e^{ix/2}(e^{ix/2}-e^{-ix/2}) = 2ie^{ix/2}\frac{e^{ix/2}-e^{-ix/2}}{2i} = 2ie^{ix/2}\sin\frac{x}{2} \] 同様に(1)の分子を変形すると \[ e^{i(n+1)x}-1 = e^{i(n+1)x/2}(e^{i(n+1)x/2}-e^{-i(n+1)x/2}) = 2ie^{i(n+1)x/2}\sin\frac{(n+1)x}{2} \] これらを用いると、(1)の右辺は次のように変形できる。 \begin{eqnarray*} \frac{e^{(n+1)ix}-1}{e^{ix}-1} &=& \frac{\sin \frac{(n+1)x}{2}}{\sin \frac{x}{2}} \exp\left(\frac{inx}{2} \right) \\ &=& \frac{\sin \frac{(n+1)x}{2}}{\sin \frac{x}{2}} \left( \cos \frac{nx}{2} + i\sin \frac{nx}{2} \right) \end{eqnarray*} この虚部が$\sin(kx)$の和で、実部が$\cos(kx)$の和になる。したがって、同時に次が得られる。 \[ \sum_{k=0}^n \cos(kx) = \frac{\displaystyle \cos \frac{nx}{2}\, \sin \frac{(n+1)x}{2}}{ \displaystyle \sin\frac{x}{2}} \] \[ \sum_{k=0}^n \sin(kx) = \frac{\displaystyle \sin \frac{nx}{2} \, \sin \frac{(n+1)x}{2}}{ \displaystyle \sin\frac{x}{2}} \]

考察

\[ \sin(1)+\sin(2)+\sin(3)+\cdots + \sin(n) \] は$n$が大きくなれば、大きくなることもありそうな気がする。しかし、和の公式から \begin{eqnarray*} \left| \sum_{k=0}^n \sin(k)\right| &=& \left | \frac{\displaystyle \sin \frac{n}{2} \, \sin \frac{n+1}{2}}{ \displaystyle \sin\frac{1}{2}} \right| \\ &\leq& \frac{1}{ \displaystyle \sin\frac{1}{2} } = 2.08\cdots \leq 2.1 \end{eqnarray*} と評価できるから、2.1を超えることはない。ところで、これは最善の評価だろうか?もう少し工夫して評価してみよう。 積和の公式を用いて変形する。 \begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n \sin(kx) &=& \frac{\displaystyle \sin \frac{nx}{2} \, \sin \frac{(n+1)x}{2}}{ \displaystyle \sin\frac{x}{2}} \\ &=& \frac{1}{\displaystyle2 \sin \frac{x}{2}} \left ( \cos \left(\frac{x}{2}\right)- \cos \left( n+\frac{1}{2}\right) x \right) \end{eqnarray*} これを用いれば \begin{eqnarray*} \left| \sum_{k=0}^n \sin(k)\right| &=& \left | \frac{1}{\displaystyle2 \sin \frac{1}{2}} \left ( \cos \left(\frac{1}{2}\right)- \cos \left( n+\frac{1}{2}\right) \right) \right | \\ &\leq & \frac{1}{\displaystyle2 \sin \frac{1}{2}} \left ( \cos \left(\frac{1}{2}\right)+1 \right) = \frac{1}{2} \cot \left(\frac{1}{4}\right) = 1.958158\cdots \end{eqnarray*} が得られる。任意の$n$について、定数で抑えられる評価としてはこれが最善である。 なぜならば \[ \cos \left( n+\frac{1}{2}\right) \] はいくらでも$\,-1\,$に近い値を取り得るからである。上限の記号を使って書けば \[ \sup_{n\in \mathbb{N}} \left( \sum_{k=1}^n \sin (k) \right) = \frac{1}{2} \cot \left(\frac{1}{4}\right) \] が得られたことになる。 少し実験してみると、$n=9396$のとき \[ \sum_{k=1}^{9396} \sin(k) = 1.95815182\cdots \] となり、非常に \[ \frac{1}{2} \cot \left(\frac{1}{4}\right) = 1.9581586\cdots \] と近い値を取る。