新しい数の世界

ここで紹介する新しい数の世界とは、いわゆる「$p$ -adic number」と呼ばれるもので、 Henselによって100年ほど前に発見された数の世界である。 「$p$ -adic number」は、各 $p$ に対して、異なる数の世界になり、 通常、$p$ は素数を表すのであるが、$p=10$ のケースが一番計算しやすく、面白い性質も持つから 「10 adic number」の世界について、以下議論をしたい。

実数について振り返る

「10 adic number」の導入の前に実数とは何かについて少しだけ議論を行う。 非常におおざっぱであるが、実数を扱う上でされる仮定を2つ述べる。

一つ目の仮定:

小数点以下に無限に数字が続く数、例えば \[ 1.41421356\cdots \] のような数を許容する。

二つ目の仮定:

距離の構造が入っていて、この距離に関して限りなく近いものを同一視する。 この仮定の下では \[ 0.000\cdots = 0 \] とみなす。

この実数の世界では \[ 1- 0.99999\cdots = 0.000\cdots = 0 \] であるから \[ 1 = 0.99999\cdots \] が成立する。

新しい数の世界($\zten$の世界)

上の仮定を踏まえて、逆方向の議論を行うと新しい数の世界($\zten$)に出会うことになる。 この世界では次のような仮定をする。

一つ目の仮定:

1の位から見てに無限に数字が続く数、例えば \[ \cdots 11111 \] のような数を許容する。(ここでは小数点以下右側の数は考えないことにする。) そして、このような数の全体を \[ \zten \] と記すことにする。

例. $0 \in \zten,\quad 123 \in \zten , \quad \cdots22222 \in \zten.$

二つ目の仮定:

「実数とは異なる距離の構造」が入っていて、この距離に関して限りなく近いものを同一視する。 この仮定の下では \[ \cdots 000000 = 0 \] とみなす。

ここで新しい数の世界に導入する距離感は非常に新しいタイプの距離である。

$\zten$における距離感

1の位から左に見て、0が続けば続くほど、0に近いとする。(言い換えれば10で割り切れるほど0に近いということ.) 一般には $a-b$が0に近ければ$a$と$b$は近い数だとする。

例. $223$ と$123$は$223-123=100$で$10$で2回割れるので0にある程度近いといえる。

この世界では \[ \cdots 99999 + 1 = \cdots 00000 = 0 \] だから \[ \cdots 999999 = -1 \] という奇妙な等式に出会うことになる。

$\mathbb{Z} \subset \zten$を確認する

はじめから$\zten$の集合にマイナスの数も含めても良いが、 今回は、マイナスの数を定義には含めないとしよう。しかし、 \[ -1 = \cdots9999 \in \zten \] だったから、結局 \[ -1 \in \zten \] となる。では$-2\in \zten$が成立するかどうかであるが、それは \[ -2 = -1 -1 = \cdots99999-1 = \cdots999998 \in \zten \] とすれば確認できる。同様にして \begin{align*} -3 & = -1-2=\cdots99999-2 = \cdots999997 \in \zten\\ -4 & = -1-3=\cdots99999-3 = \cdots999996 \in \zten\\ -5 & = -1-4=\cdots99999-4 = \cdots999995 \in \zten\\ -6 & = -1-5=\cdots99999-5 = \cdots999994 \in \zten \end{align*} が確認できるから、負の数というものは、すべて $\zten$に含まれるということが分かる。

負の数を正の数で表現する

マイナスがついた数は、かならず正の数で表現することできる。

例えば$-2019$であれば \[ -2019 = -1 - 2018 = \cdots9999-2018 = \cdots99997981 \] とすればよい。

無限桁ある場合も同様である。 \begin{align*} -(\cdots77777) &= -1 - (\cdots77776) \\ &= (\cdots99999)-(\cdots77776) \\ &= \cdots222223 \end{align*}

実際、 \[ \cdots77777+(\cdots22223)= \cdots0000 = 0 \] を確認することができる。

$\cdots$ $7$ $7$ $7$ $7$ $7$ $7$
$+$ $\cdots$ $2$ $2$ $2$ $2$ $2$ $3$
$\cdots$ $0$ $0$ $0$ $0$ $0$ $0$