$10$adic連分数展開

$10$adicの世界の標準的連分数展開はどうなるかというのは難しい問題かもしれない。 ここでは、マイナス記号を使用しない展開方法について考える。

$10$adic連分数展開

$a\in \mathbb{Z}_{10}$の数を以下の手順を繰り返して連分数展開する。

  1. $a = \text{(1の位)} + \text{(10の位以上のもの)}\quad $と分解する.
  2. 第二項$(=:b)$から、2べきと5べきの因数をくくる. $b=kx \,\, \text{($x$と$10$は互いに素)}$
  3. $x$の逆数を考える.

ここで注意が必要なのは、1桁目の取り出し方である。10進整数はマイナス記号を使用した表示方法と使用しない表示方法の二通りが考えられる。 「1の位」というのはマイナス記号を使用しない表現における「1の位」。

例. $123$の1の位は$3$.

例. $-1$の1の位は$9$.なぜならば \[-1 = \cdots 999999.\]

例. $-3$の1の位は$7$.なぜならば \[-3 = \cdots 99997.\]

例. $1/3$の1の位は$7$.なぜならば \[\frac{1}{3} = \cdots 666667.\]

これらを踏まえて、$-1$を連分数展開する。

$-1$の連分数展開

\begin{align*} -1 &= 9+\cfrac{10}{-1} \\ &= 9+\cfrac{10}{9+\cfrac{10}{-1}} \\ &= 9+\cfrac{10}{9+\cfrac{10}{9+\cfrac{10}{-1}}} \\ &= 9+\cfrac{10}{9+\cfrac{10}{9+\cfrac{10}{9+\cfrac{10}{9 + \raise{10pt} {}_{\ddots} }}}} \end{align*}

以下無限に続くので、

\[ -1= 9+\cfrac{10}{9+\cfrac{10}{9+\cfrac{10}{9+\cfrac{10}{9 + \raise{10pt} {}_{\ddots} }}}} \]

が得られるが、10adic連分数展開においてこの関係式は重要。

例(32の連分数展開)

\begin{align*} 32 &= 2+\cfrac{30}{1} \\ &= 2+\cfrac{10}{\cfrac{1}{3}} \\ &= 2+\cfrac{10}{7+\cfrac{1}{3}-7} \\ &= 2+\cfrac{10}{7+\cfrac{20}{-3}} \\ &= 2+\cfrac{10}{7+\cfrac{20}{7-10}} \\ &= 2+\cfrac{10}{7+\cfrac{20}{7+\cfrac{10}{-1}}} \end{align*}

$-1$が出現したらあとは無限に$9$が繰り返される。

$\sqrt{1}$の連分数展開

$\sqrt{1}$は非自明なもので \[\sqrt{1} = \cdots 25781249\] となるものを選択する。

計算機を用いて連分数展開すると次が得られる。

\[\sqrt{1} = 9+\cfrac{40}{1+\cfrac{10}{3+\cfrac{10}{3+\cfrac{20}{1+\cfrac{20}{1+\cfrac{40}{7+\cfrac{40}{9+\cfrac{40}{3+\cfrac{10}{9+\cfrac{20}{1+\cfrac{10}{7+\cfrac{20}{7+\cfrac{20}{3+\cfrac{20}{7+\cfrac{10}{3+\cfrac{40}{7+\cfrac{40}{1+\cfrac{40}{1+\cfrac{50}{3+\ddots}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\]

規則が見えない?が、不思議と$7$倍あるいは$9$倍してから展開すると規則的になる。

\[7\sqrt{1} =3+\cfrac{20}{3+\cfrac{10}{3+\cfrac{10}{3+\cfrac{10}{3+\ddots}}}}\]

\[9\sqrt{1} =1+\cfrac{40}{1+\cfrac{20}{1+\cfrac{20}{1+\cfrac{20}{1+\ddots}}}}\]

以下、その他に自然数倍が循環するものをいくつか並べる。

\[21\sqrt{1}=9+\cfrac{20}{1+\cfrac{10}{9+\cfrac{10}{1+\cfrac{10}{9+\cfrac{10}{1+\cfrac{10}{9+\cfrac{10}{1+\cfrac{10}{9+\cfrac{10}{1+\ddots}}}}}}}}} \] \[41\sqrt{1}=9+\cfrac{800}{9+\cfrac{400}{9+\cfrac{400}{9+\cfrac{400}{9+\cfrac{400}{9+\cfrac{400}{9+\cfrac{400}{9+\cfrac{400}{9+\cfrac{400}{9+\ddots}}}}}}}}} \] \[49\sqrt{1}=1+\cfrac{400}{7+\cfrac{20}{7+\cfrac{200}{1+\cfrac{200}{7+\cfrac{20}{7+\cfrac{200}{1+\cfrac{200}{7+\cfrac{20}{7+\cfrac{200}{1+\ddots}}}}}}}}} \]

周期2や周期3で循環するものも出現している。

41倍は特に特徴的である。

\[41\sqrt{1}=9+\cfrac{800}{9+\cfrac{400}{9+\cfrac{400}{9+\cfrac{400}{9+\cfrac{400}{9+\cfrac{400}{9+\cfrac{400}{9+\cfrac{400}{9+\cfrac{400}{9+\ddots}}}}}}}}} \]

これは周期1で循環するが、2桁ずつ決定していく様子が見て取れる。

負の整数倍まで調べたところ、2桁ずつ決定するものと、3桁ずつ決定するものまで見つかった。

\[-57\sqrt{1} = 7+\cfrac{1600}{7+\cfrac{800}{7+\cfrac{800}{7+\cfrac{800}{7+\cfrac{800}{7+\cfrac{800}{7+\cfrac{800}{7+\cfrac{800}{7+\cfrac{800}{7+\ddots}}}}}}}}}\] \[-253\sqrt{1} = 3+\cfrac{32000}{3+\cfrac{16000}{3+\cfrac{16000}{3+\cfrac{16000}{3+\cfrac{16000}{3+\cfrac{16000}{3+\cfrac{16000}{3+\cfrac{16000}{3+\cfrac{16000}{3+\ddots}}}}}}}}}\]