$ \zten $ における循環整数

数学用語として、「循環整数」というものは存在していないようであるが、 実数の世界の「循環小数」に対応して、 \[ \cdots11111, \quad \cdots 123123123 \] のようなものをここでは「循環整数」と呼ぶことにする。 また、循環小数と同じ記号で、循環部分を表現するため \[ \overline{123} = \cdots 123123123 \] という記号を用いる。 今回のテーマは、 $\zten$において、循環整数は有理数になることの確認である。 これは、実数において、循環小数が有理数になることと同様に確認できる。 (今回の内容はブログにも書きました.)

循環整数を有理数に変換する

例題1 \[\cdots11111 \] を有理数にせよ。

解答. \[ x = \cdots 11111 \qquad (1) \] とおく。両辺を$10$倍して \[ 10x = \cdots 111110 \qquad (2) \] を得る。 (1)-(2)から \[ -9x = 1 \] よって \[ x = -\frac{1}{9} \] となり、(1)よりこれは \[ -\frac{1}{9} = \cdots 11111 \] を意味する。これが正しいことは、両辺 $9$ 倍して \[ -1 = \cdots99999 \] が得られることで確認できる。(この等式については一つ上の記事を参照.)

例題2 \[\cdots181818 \] を有理数にせよ。

解答. \[ x = \cdots 181818 \qquad (1) \] とおく。両辺を$100$倍して \[ 100x = \cdots 181800 \qquad (2) \] を得る。 (1)-(2)から \[ -99x = 18 \] よって \[ x = -\frac{18}{99}= -\frac{2}{11} \] となり、(1)よりこれは \[ -\frac{2}{11} = \cdots 181818 \] を意味する。これが正しいことは、右辺を $11$ 倍して \[ 11 \times (\cdots 181818) \] が $-2$ と等しいことを確認すれば良い。

$\cdots$ $1$ $8$ $1$ $8$ $1$ $8$
$\times$ $1$ $1$
$\cdots$ $8$ $1$ $8$ $1$ $8$ $1$ $8$
$\cdots$ $1$ $8$ $1$ $8$ $1$ $8$
$\cdots$ $9$ $9$ $9$ $9$ $9$ $9$ $8$

上のように筆算すれば \[ 11 \times (\cdots 181818) = \cdots 99998 = \cdots9999-1=-1-1=-2 \] が確認できる。