10adic対数関数

指数関数だけでなく、対数関数も10adicの世界で考えることができる。

$x$は$10$と互いに素とするとき、次によって10adic対数関数を定義する。 \[\log x: = \lim_{|h|_{10} \to 0} \frac{x^h-1}{h} . \]

定理

証明

$x \in 10 \mathbb{Z}_{10}$ であれば \begin{align} \frac{(1+x)^h-1}{h} &= \sum_{k=1}^h \frac{1}{h} \binom{h}{k} x^k \\ &= x + \frac{h-1}{2!}x^2 + \frac{(h-1)(h-2)}{3!}x^3 + \cdots \\ & \to x- \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots \quad (|h|_{10} \to 0) \\ &= \sum_{k=1}^\infty (-1)^{k-1} \frac{x^k}{k} \end{align} と変形できる。

注意.

$x \in 10 \mathbb{Z}_{10}$ という条件があるので、$x=2$ として、 \[\log 3 = \sum_{k=1}^\infty (-1)^{k-1} \frac{2^k}{k}\] というような計算はできない。この場合は定義に戻って、 \[ \log 3 = \lim_{|h|_{10} \to 0} \frac{3^h-1}{h} \] と計算するか、あるいは、3から始まる1のべき根 $\omega_3=\cdots 8152996418333704193$ を用いて、 \begin{align} \log 3 &= \log \left( \frac{3}{w_3} \cdot \omega_3\right) \\ &= \log \frac{3}{w_3}\\ & = \log \left( 1 + \left( \frac{3}{\omega_3}-1\right) \right) \\ &= \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{n} \left( \frac{3}{\omega_3}-1\right)^n \end{align} と計算することになる。 上の変形では $\log x $ の定義から、$x$を$1$のべき根倍しても値が変わらないことを利用している。

これらの関係式から、具体的に計算したのが次の表となる。

証明は簡単な方法が現在思いつかないので省略するが、上の表から次の対数法則が成り立っていることが見て取れる。

\[\log 3 + \log 7 = \log 21\]