内接円・外接円・傍接円・九点円

三角形が一つ決まると、内接円と外接円がそれぞれ一つずつ決まる。一方、傍接円は1つの三角形に対して、3つ存在する。九点円というのは、三角形の三つの中点を通る円のことで、傍接円と接することが知られいてる。

内接円

三角形ABCに対して、各頂点に対応する辺の長さを$a,b,c$とする。

三角形の面積を$S$とおくと、内接円の半径$r$は、

\[ S = \frac{r}{2} (a+b+c) \]

を満たすので

\[ r = \frac{2S}{a+b+c} \]

が得られる。

面積自体は、ヘロンの公式により

\[S = \frac{1}{4} \sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)} \]

によって求められる。

頂点 $A,B,C$ の位置ベクトルをそれぞれ $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ とおく。このとき、内接円の中心座標は次のように決定する。 \[ \frac{ a \cdot \vec{a} +b \cdot \vec{b} +c \cdot \vec{c}}{a+b+c} \]

直線状にない異なる3点があると、そられを通る円は一つに決定する。三角形の外接円というのは、三角形の３頂点を通る円のことになる。

記号は、上の内接円の場合と一緒とする。このとき外接円の半径は

\[ \frac{abc}{4S} \]

によって与えられる。

外接円の中心は、

\[ \frac{a^2(c^2+c^2-a^2)\vec{a} + b^2 (c ^2 + a ^2 - b ^2 ) \vec{b} + c^2 (a^2 + b^2 - c^2) \vec{c}}{16S^2} \]

によって与えられる。

傍接円は一辺と接し、かつ、他の2辺の延長線となる直線に接する円である。

傍接円は、一つの三角形に対して３つ存在する。

記号は、内接円の場合と一緒とする。このとき、頂点Aに対応する辺と接する傍接円の半径は

\[ \frac{2S}{b + c - a} \]

となる。

頂点Aに対応する辺と接する傍接円の中心は

\[ \frac{b\vec{b} + c\vec{c}-a\vec{a}}{b+c-a} \]

によって与えられる。

九点円は、三角形の各辺の中点を通る円をいう。この3点の他に、特徴的な6点を通ることから、九点円と呼ばれる。

九点円は傍接円と接することが知られている。次の動画では、三角形の一点を円上に動かして、内接円・外接円・傍接円・九点円を描画している。外側の三角形は、傍接円の中心を結んだ三角形であり、内側にある太線の三角形が基本の三角形である。