微分積分

解析学に関する基本的な関数.

関数 機能
limit(f(x), x, a) 関数fのx=>aの極限値
diff(f(x),x,n) 関数fのn階導関数
integrate(f(x),x) 関数fの原始関数
integrate(f(x),x,a,b) 関数fのaからbまでの定積分
taylor(f(x),x,c,n) 関数fのxに関するc中心のn次までのテイラー展開

極限

例.

\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \]

limit(sin(x)/x,x,0);

実行結果.

1

上の例は極限値が存在する場合であるが、右側極限値と左側極限値が異なるケースもある。 このようなときは、第4引数にplus or minus を付ける。

limit(floor(x),x,0,plus);

実行結果.

0
limit(floor(x),x,0,minus);

実行結果.

-1

導関数

例.

\[ \frac{d}{dx} \sin x = \cos x.\]

diff(sin(x),x);

実行結果.

cos x

例2.

\[ \frac{d^2}{dx^2} \sin x = - \sin x.\]

diff(sin(x),x,2);

実行結果.

-sin x

不定積分

例.

\[ \int \sin x \, dx = -\cos x.\]

integrate(sin(x),x);

実行結果.

-cos x

定積分

例.

\[ \int_0^\infty \frac{1}{x^2+1} \, dx = \frac{\pi}{2} \]

integrate(1/(x^2+1),x,0,inf);

実行結果.

\[ \frac{\pi}{2} \]

テイラー展開

例.

\[ \sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots .\]

taylor(sin(x),x,0,5);

実行結果.

\[ x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}+\cdots \]